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Matemática para todos!

Progressão aritmética

É uma seqüência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante ( chamada razão).
Exemplos:
Sendo a1 = 1 e  a razão (r) = 2 então (a1 é o primeiro termo a2 o segundo termo e assim por diante)
a2 = a1 + r   a2 =  1 + 2 = 3
a3 = a2 + r   a3 =  3 + 2 = 5
a4 = a3 + r   a4 =  5 + 2 = 7
an = an-1 + r (representação de um termo qualquer)
Assim a P.A. será (1, 3, 5, 7……)

Para calcularmos a razão de uma P.A. efetuamos a diferença  entre um termo qualquer e seu anterior.
Exemplos:
Dada a P.A. (1, 4, 7, 10….)
r = 4 – 1 = 3; r = 7 – 4 = 3; r = 10 – 7 = 3

Termo Geral de uma P.A
Para calcularmos qualquer termo de uma P.A. usamos a fórmula seguinte: 

an = a1 + (n – 1)r

an = representa o termo procurado.
a1 = representa o primeiro termo da P.A
n  = representa o número de termos.
r  = representa a razão da P.A.

Exemplos:
1.  Calcule o sétimo termo da P.A (1, 6, 11, …)
a7 = ?  n = 7  a1 = 1  r = 6 – 1 = 5
an = a1 + (n – 1)r
a7 = 1 + (7 – 1)5
a7 = 1 + (6)5
a7 = 1 + 30
a7 = 31
Logo o sétimo termo desta P.A é 31.

2.  Calcule o número de termos de uma P.A sabendo que a1 = – 14, an = 19 e r = 3.
an = 19     a1 = -14     r = 3    n = ?
an = a1 + (n – 1)r
19 = -14 +  (n – 1)3
19 = -14 + 3n – 3
-3n = -14 -3 – 19
-3n = -36(-1)
 3n = 36
 n = 36/3
 n = 12
Logo o número de termos é 12.

Propriedades

1ª =  Sendo a, b, c  três termos consecutivos de uma P.A, dizemos que  o termo b central entre eles é a média aritmética dos outros dois.
Exemplo:
Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de uma P.A. Calcule o valor de x.

2ª = Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo:

9 = 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20

Formula da Soma dos Termos da P.A.    

Sn = representa a soma dos termos da P.A.
a1 = representa o primeiro termo da P.A.
an = representa um determina termo da P.A.
n  = representa um determinado número de termos da P.A.

Exemplos:
1. Calcule a soma dos 15 primeirios termos da P.A (8, 12, 16…)
s15 = ?  a1 = 8     a15 = ?   r = 12 – 8 = 4    n = 15                    

Observe que para usar a fórmula da soma primeiro devo calcular a15 .

an = a1 + (n – 1)r
a15 = 8 + (15 – 1)4
a15 = 8 + (14)4
a15 = 8 + 56
a15 = 64

 

 


 


Logo  soma dos 15 temos é 540.

2. Sendo a1 = 0 e r = 2, calcule a soma dos 16 primeiros termos dessa P.A.
a1 = 0     r = 2      S16  = ?       a16 = ?

an = a1 + (n – 1)r
a16 = 0 + (16 – 1)2
a16 = 0 + (15)2
a16 = 0 + 30
a16 = 30

               

 



Logo a soma dos 16 termos é 240.

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