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Matemática para todos!

Números primos, m.m.c e m.d.c

Números Primos

    Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos. Definimos como números primos aqueles que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo.
Exemplos:
2 é divisível apenas por 1 e ele mesmo.
3 é divisível apenas por 1 e ele mesmo.
Conjunto do números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,….}

Máximo Divisor Comum (mdc)    

 

 O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos (números diferentes de zero) é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles.

 

    Não vamos aqui ensinar todos as formas de se calcular o mdc, vamos nos ater apenas a algumas delas.

Regra das divisões sucessivas

    Esta regra é bem prática para o calculo do mdc, observe:

    Exemplo:

    Vamos calcular o mdc entre os números 160 e 64.

 

 

 

1º: Dividimos o número maior pelo menor.
2º: Como não deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da divisão anterior.
3º: Prosseguimos com as divisões sucessivas até obter resto zero.

O mdc (64; 160) = 32 

 

Para calcular o mdc entre três ou mais números, devemos coloca-los em ordem decrescente e começamos a calcular o mdc dos dois primeiros. Depois, o mdc do resultado encontrado e o terceiro número dado. E assim por diante.

    Exemplo:

    Vamos calcular o mdc entre os números 18, 36 e 63.

Observe que primeiro calculamos o mdc entre os números 36 e 18, cujo mdc é 18, depois calculamos o mdc entre os números 63 e 18(mdc entre 36 e 18).
O mdc (18; 36; 63) = 9.

Regra da decomposição simultânea

    Escrevemos os números dados, separamos uns dos outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado do último. No outro lado do traço colocamos o menor dos fatores primos que for divisor de todos os números de uma só vês.
O mdc será a multiplicação dos fatores primos que serão usados.

    Exemplos:

mdc (12; 6

mdc (80; 40; 72; 124)

 Propriedade:
Observe o mdc (4, 12,  20), o mdc entre estes números é 4. Você deve notar que 4 é divisor de 12, 20 e dele mesmo.
Exemplo
mdc (9,  18, 27) = 9, note que 9 é divisor de 18 e 27.
mdc (12, 48, 144) = 12, note que 12 é divisor de 48 e 144.

Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

 O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não nulos(números diferente de zero), é o menor número que múltiplo de todos eles.

    Regra da decomposição simultânea

    Devemos saber que existe outras formas de calcular o mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposição simultânea.
OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fique atento as diferenças.

    Exemplos:

mmc (18, 25, 30) = 720

  1º: Escrevemos os números dados, separados por vírgulas, e colocamos um traço vertical a direita dos números dados.
2º: Abaixo de cada número divisível pelo fator primo colocamos o resultado da divisão.  O números não divisíveis pelo fator primo são repetidos.
3º: Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para todos os números.
Observe os exemplos abaixo.

mmc (4, 8, 12, 16) = 48
mmc (10, 12, 15) = 60

Propriedade:

Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que o maior deles é múltiplo dos menores ao mesmo tempo, logo o mmc entre eles vai ser 100.
Exemplo:
mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e dele mesmo
mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e dele mesmo

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