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Equações do segundo grau

  Equações do 2º Grau

            De forma geral, chama-se equação do 2º grau com uma variável toda equação  que pode ser escrita na forma, ax2 + bx + c = 0, em que x  é a variável e a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau. 

·         representa o coeficiente de x2.

·        b  representa o coeficiente de x.

·        c representa o termo independente. 

Exemplos de equações do 2º grau. 

5x2 – 3x + 2 = 0   onde:  a = 5,  b = – 3 e c = 2 

x2 + 6x + 9 = 0     onde:  a = 1,  b = 6 e  c = 9 

-3x2 + 7x + 1 = 0 onde:  a = -3, b = 7 e c = 1 

-x2 + 5x – 6 = 0   onde: a = – 1,  b = 5 e c = -6 

3x2 – 5 = 0         onde: a = 3, b = 0 e c = – 5 

x2 + 4x = 0         onde: a = 1, b = 4 e c = 0 

Equações do 2º grau Completas e Incompletas 

Completas: ax2 + bx + c = 0 

Quando possui os coeficientes a, b e c

Exemplos: 

x2 – 4x – 12 = 0, onde: a = 1, b = – 4 e c = -12 

– x2 + 11x – 18 = 0, onde: a = -1, b = 11 e c = – 18 

Incompletas: ax2 + bx = 0,   ax2 + c = 0   ou   ax2 = 0 

Quando b ou c é igual a zero, ou ambos iguais a zero. 

Exemplos: 

3x – 4a = 0, onde: a = 3, b = – 4 e c = 0 

2x2 + 5 = 0, onde: a = 2, b = 0 e c = 5 

3x2 = 0, onde: a = 3, b = 0 e c = 0 

Raízes de uma equação do 2º grau 

            Dizemos que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática verdadeira. 

Exemplos: 

1.      Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0. 

x2 – 11x + 18 = 0 

(9)2 – 11(9) + 18 = 0 (substituímos a variável x por 9) 

81 – 99 + 18 = 0 

0 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais) 

2.      Verifique se  3 é raiz da equação 2x2 + 5x – 3 = 0. 

2x2 + 5x – 3 = 0 

2(3)2 + 5(3) – 3 = 0 (substituímos a variável x por 3) 

2(9) + 15 – 3 = 0 

18 + 15 – 3 = 0 

30 ¹ 0 (não, 3 não é raiz da equação, observe que os dois membros são deferentes) 

Resolvendo Equações do 2º Grau 

Equações Incompletas 

·        ax2 – bx = 0, (c = 0) 

        a)x2 – 4x = 0 

        x(x – 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) 

        x = 0 

        x – 4 = 0 

        x = 4 

        S = {0;4} 

        b)-2x2 – 8x = 0 

        x(-2x – 8) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) 

        x = 0 

        -2x = 8 (-1) 

        2x = – 8 

          

        x = – 4 

        S = {0;-4} 

   Conclusão: Neste tipo de equação sempre umas das raízes vai ser igual a zero.

·        ax2 + c = 0, (b = 0) 

        a)x2 – 16 = 0 

        x2 = 16 (dois números que elevado ao quadrado dê dezeseis , – 4 e + 4). 

          

        x = ±

        S = {- 4; 4} 

        b)-2x2 + 8 = 0  

        -2x2 = – 8(-1) 

        2x2 = 8 

          

        x2 = 4 

          

        x = ±

        S = {- 2; + 2} 

Conclusão: Neste tipo de equação sempre as raízes vão ser opostas.

 ·        ax2 = 0, (b = 0, c = 0) 

        5x2 = 0 

        

        x2 = 0

        

        x = 0 (zero é nulo) 

        S = { 0 } 

Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz  vai ser igual a zero. 

Equações Completas 

·        ax2 + bx + c = 0 

Usamos a fórmula de Báskara.(Foi um matemático indiano) 

          

          

          

          

Observe, que a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau. 

Resolução 

    Exemplos: 

·        x2 – 8x + 12 = 0 

        a = 1, b = – 8 e c = 12 

       (primeiro vamos calcular o valor de delta) 

        (substituímos a por 1, b por –8 e c por 12

        

       (Delta positivo) 

      (fórmula de Baskara) 

      (substituímos b por – 8, delta por 16 e a por 1) 

      

      

      

    S = {6 ; 2} 

·        x2 – 12x + 36 = 0 

    a = 1, b = – 12 e c = 36 

    

      

      

     (Delta igual a zero) 

      

      

      

      

    

    S = {6} 

·        2x2 – 4x + 3 = 0 

       a = 2, b = – 4 e c = 3 

      

      

      

      (Delta negativo) 

    S = {  }, não existe raiz de número real negativo 

Importante 

            D > 0(Positivo)

A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x ¹ x

            D < 0 (Negativo) 

A equação não possui raízes reais. 

            D = 0 

A equação possui duas raízes reais e iguais. (x = x

Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta) 

Exemplo:

·        Determine o valor de m na equação 2x2 + 3x + m, para que as raízes sejam reais e iguais. 

    D = 0 (Raízes reais e iguais) 

    a = 2, b = 3 e c = m

      

      

      

      

      

      

      (Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 9/8) 

·        Determine o valor de r na equação 2x2 – 4x + 5r, para que as raízes sejam reais e diferentes. 

    D > 0 

    a = 2, b = – 4 e c = 5r 

      

      

      

      

      

     (quando multiplicamos por – 1 o sinal da desigualdade muda) 

      

      (Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < 2/5)

·        Determine o valor de k na equação -3x2 + 5x – 2k, para que não exista raízes  reais. 

    D < 0 

    a = – 3,  b = 5 e c = -2k 

      

      

          

      

      

      

      

Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º Grau 

            É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resolver a equação. Graças as relações de Girard. 

·        Soma das raízes. 

 

·        Produto das raízes. 

 

Exemplos: 

Calcule a soma e o produto das raízes  equações do 2º grau. 

·        x2 + 7x + 12 = 0 

a = 1,  b = 7 e c = 12 

 

Determine o valor de m na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a soma das raízes seja 3/4. 

 

 

   

 

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