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Divisibilidade

Critérios de divisibilidade

São critérios que nos permite verificar se um  número é divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes divisões.

Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos :
8490  é divisível por 2, pois termina em 0.
895 não é divisível por 2, pois não é um número par.    

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

 Exemplo:
870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:
9500 é divisível por 4, pois termina em 00.
6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4.
836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4.
9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.Exemplos:
425 é divisível por 5, pois termina em 5.
78960 é divisível por 5, pois termina em 0.
976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplos:
942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2  e por 3 ao mesmo tempo.
984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3.
357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:
2000 é divisível por 8, pois termina em 000.
98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8.
98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:
6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é divisível por 9, então 6192 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
8970 é divisível por 10, pois termina em 0.
5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
Exemplos:
87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si – Sp = 22 – 11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si – Sp = 10 – 21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1200 é divisível por 12, porque é divisível por 3  e por 4 ao mesmo tempo.
870 não é divisível por 12 é divisível por 3, mas não é divisível por 4.
8936 não é divisível por 12 é divisível por 4, mas não é divisível por 3.

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
Exemplos:
9105 é divisível por 15, porque é divisível por 3  e por 5 ao mesmo tempo.
9831 não é divisível por 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 5.
680 não é divisível por 15 é divisível por 5, mas não é divisível por 3.

Números Primos

Números primos são os números naturais divisíveis apenas por 1 e ele mesmo.      

Exemplos:
2  tem apenas os divisores 12, portanto 2 é  primo.
23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 é primo.
10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é  primo.       

Atenção:
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor  ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 36  tem mais de dois divisores então 36 é um número composto.

Como saber se um número primo

Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor.Se nenhum das divisões for exata, o número é primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada de um número     

Decomposição do número 36:
36 = 9 x 4
36 = 3 x 3 x 2 x 2
36 = 3 x  3 x 2 x 2 = 22 x 32        

No produto 2 x 2 x 3 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 36 é 22 x 32

Fatorando um Número Natural
 Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
1º  Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

 

2º  A seguir,  dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo.

3º  Proceder dessa forma, daí por diante, até obter o quociente 1.

4º  A forma fatorada do número 120 = 23 x 3 x 5

 

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