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Conjuntos

Conjuntos

    Definimos conjuntos, como uma coleção ou grupo de objetos. Os objetos ou cada membro de uma     coleção são chamados de elementos.

 

  Representação de um conjunto  

Lemos, x pertence ao conjunto H
Lemos, x não pertence ao conjunto H

 

Existem várias formas de representarmos um conjunto

 

   1ª) Escrevendo todos os seus elementos entre chaves.
R = {2, 5, 7, 8, 9}

2ª) O conjunto A dos números naturais menores que 1000. Como este conjunto é muito grande representamos parte deste por reticências.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …,998, 999}

3ª) O conjunto P dos números pares maiores que 4. Observe que este conjunto é infinito não sendo possível escrever todos os seus elementos. Escrevemos, parte deste conjunto seguido por reticências.
P = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, …}

4ª) Uma outra forma de representarmos um comjunto é indicar, entre chaves, uma determinada propriedade ou seja uma condição que informa os elementos que constitui o conjunto a ser formado.
D = {x / x número naturais pares menores que 28}    (x / x) lemos, x tal x
Logo: Os elementos do conjuto D = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26}

5ª) Uma outra froma de representarmos um conjunto é usando o diagrama de Venn.

 

 

Os pontos representam uma associação dos elementos com o diagrama.

Tipos de conjuntos

   Conjunto unitário: São conjuntos formados por um único elemento.
Exemplo:
R é o conjunto formado pela capital de Minas Gerais.
R = {Belo Horizonte}

Conjunto vazio: São conjuntos que não possuem elementos.
 Exemplo:
M é o conjunto formado pela capital de Brasilia.
Como não existe a capital de Brasilia, o conjuto é vazio.
M = {  }

Subconjuntos

   Dados dois conjuntos, R e H, dizemos que R está contido em H ou que R é subconjunto de H se, e somente se, todo elemento do conjunto R também é elemento do conjunto H.
Em outras palavras, R será subconjunto de H se todos os seus elementos forem elementos do conjungo H.
Representação:  

Lemos: R está contido em H

Exemplos:
Se G = {6, 8, 9, 10} e P = {0, 5, 6, 12, 8, 45, 9, 15, 10, 14} observe que todos os elementos do conjunto G estão dentro do conjuto P.
Neste caso, G é subconjunto de P.

Lemos: G está contido em P    ou
P contém G

Se A = {6, 8, 9} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11} observe que o número 9 não é elemento do conjunto B então A não está dento do conjunto B.
Neste cado, A não é subconjunto de B.

Lemos: A não está contido em B    ou
B não contém A

    Igualdade de conjuntos

   Dois conjuntos F e N são iguais se, e somente se, todo elemento de F é também elemento de N e vice-versa.
 F = N (lemos F é igual a N)
Exemplo:
G = {1, 2, 5, 8, 9} e K = {9, 5, 8, 2, 1}, osbserve que todos os elementos do conjunto G são elementos do conjunto k e vice-versa. Logos G = K.

Exercícios resolvidos

   1. Dado o conjunto P = {-1, 2, -8, 9, -45}, vamos verificar se as alternativa abaixo são verdadeiras ou falsas.

a)     Está alternativa é verdadeira, porque – 8 é elemento do conjunto P.
b)
     Está alternativa é falsa, porque 12 não é elemento do conjunto P.
c)
    Está alternativa é falsa, porque 9 é elemento do conjunto P

   2. Determine os elementos dos conjuntos:

a) O conjunto A = {8, 9, 10, 11,…},x representa os números naturais maiores ou igual a 8.
b) O conjunto B = {9, 10, 11}, x representa os números naturais maiores que 8 e menores ou igual a 11.
c) O conjunto C = {-2, -1, 0, 1, 2}, x representa os números inteiros maiores ou igual a -2 e menores ou igual a 2.
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